Задачи на выходные: математические головоломки с разбором решений

На прошлой неделе задачка была простая, сегодня подумать придется побольше!

Задачи на выходные

Задача 1
Можно ли число 2024 представить в виде суммы a⁵ + b³, где a и b — натуральные числа?

Задача 2
**В некотором числе 10 единиц, 100 двоек, 1000 троек, …, 10⁹ девяток, расположенных в некотором порядке. Каждую секунду в нём стирают последнюю цифру.
Правда ли, что в какой-то момент после начала процесса получится число, делящееся на 9?**

👀 Ответы пишите в комментариях! Как бы вы подошли к решению? ✍️

Разбор решений к задачам на выходные

Задача 1:
Да, можно. Заметим, что:
2024 = 1024 + 1000 = 4⁵ + 10³.

Задача 2:
Да, правда.

Остаток числа при делении на 9 равен остатку суммы его цифр. Можно мысленно вычеркнуть все девятки, так как они не меняют остаток.
В нашем числе 10⁸ восьмерок, а остальных цифр 1 + 10 + 100 + … = 111111110.
Разобьем наши 111 111 110 цифр на 11 111 111 блоков по 10 чисел. Замечаем, что хотя бы одна десятка полностью состоит из восьмёрок. Пусть после стирания первой из них, оставшаяся сумма равна х. Тогда при стирании следующих восьми восьмёров суммы оставшихся цифр равны х-8, х-16, …, х-64. В итоге, получаем 9 чисел с попарно различными остатками при делении на 9. Поэтому найдется по крайней мере одно кратное 9.

Так как среди них обязательно найдется число, кратное 9, то на каком-то этапе получится число, делящееся на 9.