Постоянная Капрекара 6174: математическое чудо или тень великой теоремы

Что такое постоянная Капрекара

На днях вспомнилась постоянная Капрекара.

6174 — это постоянная Капрекара. Из любого четырехзначного, у которого не все цифры одинаковы, можно получить 6174, повторяя простую процедуру Капрекара не более 7 раз.

Процедура Капрекара — это вычитание из числа, полученного упорядочиванием цифр по убыванию, числа, полученного упорядочиванием цифр по возрастанию.

Процедура Капрекара на примере числа 1729

Например, берёте свой год рождения, пин-код, любимое число 1729 или просто любое четырёхзначное. И считаете:

Шаг 1: 1729 → 9721 − 1279 = 8442
Шаг 2: 8442 → 8442 − 2448 = 5994
Шаг 3: 5994 → 9954 − 4599 = 5355
Шаг 4: 5355 → 5553 − 3555 = 1998
Шаг 5: 1998 → 9981 − 1899 = 8082
Шаг 6: 8082 → 8820 − 0288 = 8532
Шаг 7: 8532 → 8532 − 2358 = 6174

Оказывается, всегда получается 6174, причем 7 шагов — это максимум, а почти в половине случаев хватит и 4х.

Постоянная Капрекара в других системах: где кончается простота

Но самое интересное не в этом. Поведение такой процедуры на первый взгляд хаотично, если начать обобщать. Для трёхзначных чисел есть похожее число 495, к которому сходятся все трёхзначные числа. А вот для бОльших чисел — таких постоянных (то есть к которым сходится процедура Капрекара) либо вообще нет, либо их несколько.

И самое главное: когда мы переходим к произвольному основанию системы счисления (а не только остаемся в десятичной) и к произвольному числу цифр, всё становится по-настоящему очень сложным. Общего ответа, когда и что получается, просто нет. Пока что.

Случайность или тень великой теоремы

Легко доказать, почему процедура Капрекара работает, почему 6174 единственно, найти 495 для трёхзначных чисел. А вот что сложно — так это понять, что перед нами: случайность или тень какой-то более великой теоремы, до которой мы ещё не дошли.

А какие у вас любимые четырёхзначные числа?