Когда дробь станет конечной десятичной дробью: как определить без деления

Вы когда-нибудь задумывались над этим?

Посмотрите на запись простых дробей в десятичной записи:

1/2 = 0,5 — конечная
1/3 = 0,333… — бесконечная
1/4 = 0,25 — конечная
1/5 = 0,2 — конечная
1/6 = 0,1666… — бесконечная
1/7 = 0,142857… — бесконечная

Как определить конечную десятичную дробь без деления

Вопрос: как заранее, без деления, узнать, какая дробь запишется конечной десятичной дробью, а какая уйдёт в бесконечность?

На самом деле, ответ достаточно простой.

Сократите дробь до конца и посмотрите на знаменатель (то, что под чертой, на всякий случай).

Десятичная дробь будет конечной тогда и только тогда, когда знаменатель делится только на 2 или на 5.

Примеры конечных и бесконечных десятичных дробей

1/2, 1/4, 1/5, 1/8, 1/20, 1/50 — конечные (знаменатели состоят лишь из 2 и 5)
1/3, 1/6, 1/7, 1/9, 1/12, 1/23 — бесконечные (в знаменателе прячется 3, 7 или другой простой множитель)

Почему конечные десятичные дроби зависят именно от 2 и 5

Потому что наша система десятичная. Конечная десятичная дробь — это на самом деле дробь со знаменателем в виде 10, 100, 1000 и так далее, то есть степени десятки, которые состоят только из произведений двоек и пятёрок.

Так что, никакой глубокой математики здесь нет, но всё равно красиво!

Что скрывается в бесконечных десятичных дробях

Правда, один вопрос всё-таки остается.

Бесконечные дроби на самом деле состоят из бесконечно повторяющихся циклов.

1/3 = 0,(3)
1/6 = 0,1(6)
1/7 = 0,(142857)

20 огоньков 🔥 и расскажу, как определить длину периода этих бесконечных циклов.