Гипотеза Артина: почему простая дробь 1/p скрывает нерешённую задачу теории чисел

«Я был небрежен, но машина меня догнала»

Эта фраза принадлежит Эмилю Артину (на фото), одному из основателей современной абстрактной алгебры.

В 1957 году Деррик и Эмма Лемер с первых компьютеров обнаружили расхождение в оценке, предложенной Артином ещё в 1927 году. Это предположение получило название гипотеза Артина.

Что утверждает гипотеза Артина

Что она говорит?

Помните, вчера мы смотрели на дроби вида 1/n. И поняли, что они либо конечны, либо бесконечны, но состоят из циклов.

Причём максимальная длина каждого цикла равна n−1. Для каких-то значений она достигается, для каких-то нет (например, 1/7 да, 1/13 нет).

Вопрос: а сколько всего таких простых чисел p, для которых 1/p имеет циклы максимальной длины?

Именно на этот вопрос даёт ответ гипотеза Артина.

И ответом оказывается: бесконечность.

Более того, Артин эвристически вычислил и долю среди всех простых чисел, для которых длина цикла максимальна, примерно 37%.

Почему гипотеза Артина до сих пор остаётся гипотезой

Но самое интересное даже не в этом. Даже спустя почти 100 лет гипотеза Артина остаётся гипотезой. Доказательство оказалось чрезвычайно сложным.

В 1967 году Кристофер Хули доказал гипотезу, но только при условии, что верна обобщённая гипотеза Римана. А она сама до сих пор является величайшей открытой проблемой.

В 1986 году Хит-Браун доказал безусловный вариант, но для частного случая. Он доказал, что хотя бы для одного из чисел 2, 3 или 5 период дроби 1/p максимален для бесконечного количества простых p. Правда, мы не можем указать, какое из этих трёх чисел конкретно.

То, что началось как школьная задачка с простыми дробями вида 1/n, быстро оказалось сложнейшей задачей теории чисел, да ещё и зависящей от гипотезы Римана.

Гипотеза Артина и обманчивая простота математики

Какой вывод?

Во-первых, если вас спросят, зачем вообще нужно доказывать гипотезу Римана, вот вам один из аргументов: для доказательства гипотезы Артина.

А во-вторых, красота 1/n в обманчивой простоте. То, что выглядит безобидно и понятно, на самом деле стоит рядом с ключевыми проблемами теории чисел.

На этом с 1/n всё. Просто ставьте 🔥, если согласны с такой красотой.