Математические задачи на выходные: последовательности и доказательства

Задача на выходные, даже две

N.1 Для тех, кто хочет немного размяться
N.2 Для тех, кто хочет красиво подумать

Математические задачи: условия

N.1 **Какое следующее число в последовательности?
1, 11, 21, 1211, 111221, …**

N.2 Дано натуральное число n. Докажите, что целая часть числа (4 + sqrt(11))^n всегда является нечётным числом.

Ответы и решения математических задач

Ответ:
N.1 312211
Каждое число описывает предыдущее: «три единицы, две двойки, одна единица».

N.2
Доказательство: целая часть (4+√11)ⁿ всегда нечётна

Доказательство через рекуррентные последовательности

1. Определим последовательность:

Aₙ = (4+√11)ⁿ + (4-√11)ⁿ
Числа 4+√11 и 4-√11 являются корнями уравнения x² — 8x + 5 = 0.
Значит, Aₙ удовлетворяет рекуррентному соотношению:
Aₙ₊₂ = 8Aₙ₊₁ — 5Aₙ
При начальных значениях A₀ = 2, A₁ = 8 по индукции получаем, что каждое Aₙ является чётным целым числом.

1. Заметим, что 4 — √11 ≈ 0.683 < 1, значит, для любого n: 0 < (4-√11)ⁿ < 1

Это означает, что дробная часть числа (4+√11)ⁿ равна 1 — (4-√11)ⁿ, а целая часть — Aₙ — 1.

1. Так как Aₙ всегда чётное, то Aₙ — 1 нечётное.

Вывод: целая часть (4+√11)ⁿ всегда нечётна.