Формула суммы чисел: как Гаусс в 7 лет удивил учителя

Нестандартный подход

В возрасте 7 лет Карл Гаусс начал учиться в начальной школе Святой Катерины. Его учителем был директор школы с фамилией Бюттнер. Гаусс быстро поразил его своими математическими способностями — история, про которую многие наверняка слышали.

Как-то раз Бюттнер захотел заняться своими делами и решил чем-то отвлечь учеников, чтобы те ему не мешали. А что может быть лучшим отвлечением, чем сложная математическая задача? Бюттнер попросил учеников просуммировать числа от 1 до 100. Ученики приступили к расчёту, последовательно прибавляя каждое число. Каково было разочарование учителя когда всего через несколько минут маленький Гаусс сообщил ответ — 5050.

Как работает формула суммы чисел

Как этот ответ получился? Если сложить 1 и 100, будет 101. Сумма 2 и 99 — снова 101, 3 и 98 — опять 101 и так далее, последняя сумма 50 и 51. В результате, нужно всего лишь 50 раз сложить 101 или умножить 50 на 101, вместо последовательного сложения 100 чисел, так и получается 5050. Просто и красиво.

Конечно, эта история — мотивирующая легенда и неизвестно, какой метод использовал Карл. Но сам принцип, группировка слагаемых, показывает красоту математики. Чтобы найти решение, полезно посмотреть на проблему под новым углом, а не так, как делают все вокруг.

Формула суммы чисел и что дальше

В результате появилась формула суммы 1+2+…+n=n(n+1)/2. Но это только начало.

Вопрос: чему равна сумма квадратов 1^2+2^2+3^2+…n^2 — ?
Пишите в комментариях ответ и как вы к нему пришли.
Думайте и наслаждайтесь красотой математики!