Русский
Теорема Гольдбаха-Эйлера: почему сумма ряда совершенных степеней равна единице
Совершенные степени и красота математики
Чем интересна математика? Удивительные факты повсюду.
В эти выходные мы решали задачку про целые числа меньшие 1000, которые являются целыми степенями для других целых чисел. Такие числа называют совершенные степени.
Теорема Гольдбаха-Эйлера: что будет, если просуммировать ряд до бесконечности
Вопрос! А что получится, если просуммировать ряд, состоящий из чисел, обратных к совершенной степени минус один, не включая единицу и повторения?
Если мы просуммируем 40 чисел до 1000, получится примерно 0,96. Но чему равна сумма до бесконечности? И тут начинается красота!
Оказывается сумма равна единице. А само утверждение называется теоремой Гольдбаха-Эйлера. В 1730х годах Христиан Гольбах написал решение в письме к Леонарду Эйлеру, а Эйлер в 1737 году опубликовал статью с решением.
Ошибка в доказательстве Гольдбаха-Эйлера и корректное решение
Но! Решение Эйлера и Гольдбаха хоть и давало правильный ответ, но было ошибочным. Они обозначили расходящийся гармонический ряд (1+1/2+1/3+…) за x и из этого вывели сумму ряда с совершенными степенями. Но так делать нельзя, из бесконечных рядов можно получить все, что угодно. Только позже появилось корректное доказательство.
Почему теорема Гольдбаха-Эйлера до сих пор удивляет
Тем не менее сам факт о бесконечной сумме ряда чисел, обратных к совершенным степеням, выглядит очень интересным. Что скажете?
❤️ — неожиданный факт
🔥 — математическую интуицию не подведешь (про Эйлера и Гольдбаха)
🗿 — а почему все-таки ответ единица?