Гипотеза Лежандра: между соседними квадратами всегда есть простое число

В последнем посте действительно была ошибка в заголовке, точнее небольшая неточность. Простые числа, кроме одного, тоже нечетные. А значит все они входят в сумму нечетных, из которых получаются квадраты.

Но с квадратами и простыми числами, есть более интересная, тоже простая, а главное, ещё не решенная задача.

Формулировка гипотезы Лежандра

Вот такое утверждение, гипотеза Лежандра:

Между любыми соседними квадратами всегда существует хотя бы одно простое число.

Например, между 10² = 100 и 11² = 121 находятся простые числа 101, 103, 107, 109 и 113. Гипотеза говорит, что так происходит для любого натурального числа.

Почему гипотезу Лежандра до сих пор не доказали

В среднем расстояние между соседними простыми числами около числа x равно примерно ln(x). А длина промежутка между соседними квадратами около этого же числа составляет примерно 2√x. Поскольку √x растёт намного быстрее, чем ln(x), кажется, что простое число обязательно должно встретиться.

Но проблема в том, что это лишь среднее поведение. Чтобы доказать гипотезу, нужно исключить существование хотя бы одного промежутка между квадратами без простых чисел, а современные методы пока этого сделать не могут.

Интересно, что даже гипотеза Римана сама по себе пока не позволяет доказать гипотезу Лежандра.

Вычислительные проверки гипотезы Лежандра и последние результаты

При этом вычислительные проверки впечатляют. На сегодняшний день гипотеза проверена для всех n ≤ 7,05 × 10¹³. Это означает, что для каждого такого n между n² и (n + 1)² действительно найдено простое число. Ни одного контрпримера не обнаружено.

Последний серьёзный прогресс произошёл в этом году: математики доказали, что между любыми соседними квадратами всегда существует число, имеющее не более трёх простых множителей. Это важный шаг вперёд, но до полного доказательства гипотезы Лежандра всё ещё очень далеко.

t.me/vitalmath