x² + x + 41 — многочлен Эйлера, порождающий простые числа 40 раз подряд

Многочлен, побеждающий на олимпиаде простых чисел

Если бы многочлены устраивали Олимпийские игры, победителем стал бы именно этот:
f(x) = x² + x + 41.

На первый взгляд — ничего особенного. Просто квадратный трёхчлен.
Но он стал легендой из-за одной магии: если подставить вместо x числа от 0 до 39, на выходе всегда будет простое число!

Как Эйлер открыл этот многочлен простых чисел

Эту формулу заметил сам Леонард Эйлер ещё в XVIII веке.
Он тогда не просто считал уравнения — он искал, как многочлены могут «порождать» простые числа.
И оказалось, что эта формула почти идеальна: 40 подряд простых чисел.

x = 0 → 41 (простое)
x = 1 → 43 (простое)
x = 2 → 47 (простое)
…
x = 39 → 1601 (простое)

Но на x = 40 магия ломается:
x² + x + 41 = 40² + 40 + 41 = 1681 = 41 × 41.

Почему многочлен, порождающий простые числа, так важен

Многочлены — это функции, которые порождают бесконечное множество чисел.
Но среди всех многочленов, способных «выдавать» простые числа, этот стал чемпионом.
Он стал прообразом поисков полиномов-простых генераторов, на которых позже строились идеи криптографии.

Он до сих пор поражает своей простотой: трёхчлен, который работает как чистая магия 40 раз подряд.

Но есть ещё один многочлен, точнее целый класс многочленов, которые скрывают немало тайн, загадок и нерешенных задач. Про них в новом видео уже в этот вторник. Не пропустите!