Почему нормальное распределение имеет форму e^(−x²): вывод гауссиана из трёх свойств

Нормальное распределение: вопрос, который возникает сам собой

Друзья, спасибо всем за ваши комментарии 🙏
Каждый раз, когда я читаю ваш фидбэк, понимаю — аудитория этого канала особенная.
Вы не просто изучаете математику, вы замечаете настоящую математическую красоту.

Рано или поздно осветим все, что упоминалось, но, как и обещал, начнем с наиболее «залайканного».

5 лет назад ровно в это время я делал один из первых выпусков про Закон больших чисел (если по-простому, частота наблюдаемых событий стремится к теоретической вероятности). Это простое и удивительное утверждение, про которое сразу не понятно, что это — закон природы или математическая теорема. Но именно этот закон управляет многими вещами в нашем мире. Даже канал первые два года рос только за счёт выпуска про закон больших чисел.

Следом за ЗБЧ был ролик про Нормальное распределение — с распределением в форме колокола, которое встречается повсюду. Но возникает очень логичный вопрос:

Почему нормальное распределение имеет график f(x)=e^(-x²)? Есть миллион функций, имеющих форму горы со склонами. Почему, когда я кидаю снежки в столб, то вырисовывается именно такая функция?

Ответ на самом деле простой — форма распределения возникает из трёх простых свойств случайных ошибок: симметрии, независимости и редкости больших отклонений.

Три исходных предположения о природе случайных ошибок

1️⃣ Симметрия — вероятность ошибки не зависит от направления. Ошибка «влево» и «вверх» равнозначны.
2️⃣ Независимость — ошибки по горизонтали и вертикали независимы: промах влево не влияет на вероятность промаха вверх.
3️⃣ Малые ошибки встречаются чаще — большие отклонения от центра менее вероятны, чем маленькие.

Как из этих свойств получается нормальное распределение e^(−x²)

Пусть p(x) — вероятность ошибки на расстояние x по горизонтали, а p(y) — по вертикали.

Из независимости следует: p(x) * p(y) = g(r), где r = x² + y² — расстояние от центра.

Так как результат не зависит от поворота координат (симметрия), получаем уравнение:
(p'(x) / (x p(x))) = (p'(y) / (y p(y))) = C, где C — постоянная.

Решая это уравнение, получаем: p(x) = A e^(C x² / 2).

Но по условию (малые ошибки вероятнее больших) C должно быть отрицательным.
Обозначим C = -2k², где k > 0. Тогда:

p(x) = A e^(-k² x²), где A — коэффициент нормировки, а k определяет ширину распределения.

То есть форма e^(-x²) — единственная, которая сохраняет симметрию и независимость ошибок при любых поворотах координат.

Это и есть основная форма гауссиана!

Гауссиан как единственно возможная форма нормального распределения

💡 Главная идея:
Если ошибки независимы, симметричны и большие отклонения редки — единственная возможная форма распределения — экспонента в отрицательном квадрате.
Именно поэтому кривая e^(-x²) так часто возникает в природе. А ещё нормальное распределение — это распределение с наибольшей энтропией (при заданных среднем и дисперсии). Но это уже другая история..