Расходящиеся ряды: какие из них невозможно регуляризовать и почему

Да, такие есть и их много. Чтобы понять «почему нельзя», важно договориться, что вообще считать «разумным» способом суммирования расходящихся рядов.

Три свойства «хорошего» суммирования расходящихся рядов

1. Регулярность. Если ряд сходится обычно к s, метод обязан дать то же s.
2. Линейность. Если ∑aₙ → A и ∑bₙ → B (в смысле метода), то ∑(aₙ + bₙ) → A + B, а ∑(c·aₙ) → cA.
3. Стабильность. Добавление/удаление конечного числа членов не должно ломать сам факт суммируемости (значение может сдвинуться, но «суммируем/не суммируем» — нет).

Эти три требования резко сужают круг рядов, которым в принципе можно последовательно и непротиворечиво присвоить значение.

Иерархия методов суммирования

На самом деле, есть много методов суммирования: обычная сходимость → сумма по Чезаро → сумма по Абелю → дальше мощнее (Борель, Рамануджан/ζ и др.). Чем выше поднимаемся, тем труднее сохранить те самые три пункта паспорта. Универсального «сумматора всего» не существует.

Расходящиеся ряды, которые не поддаются никакой регуляризации

Но иногда вообще ничего не помогает:

• Ряд 1 + 1 + 1 + …. Допустим, «сумма» = s. По стабильности: отрежем первую 1 и сравним, выходит s = 1 + s. Противоречие для любого конечного s. Значит, никакой линейный и стабильный метод не присвоит ему число.
• Ряд 1 + 2 + 3 + 4 + …. Та же ловушка (как геометрический при x=1): снова s = 1 + s.
• Сверхбыстрые монстры: вроде 1! − 2! + 3! − 4! + …. Рост такой яростный, что даже сильные регуляризации «захлёбываются»: формальные свойства нарушаются, противоречия всплывают.
• Карманный тест обречённости: если aₙ не → 0, обычной сходимости нет и надежда на честную регуляризацию минимальна.

🔹 Патологии расходящихся рядов, от которых бегут мурашки

Иногда расходится даже то, что «должно вести себя прилично». Колмогоров построил интегрируемую функцию, у которой ряд Фурье расходится почти всюду. А ещё существуют целые пространства «плохих» рядов: не редкие уродцы, а целые миры, у каждого своё патологическое свойство. Но это, как говорится, уже совсем другая история.