Теорема Монского: почему квадрат нельзя разрезать на нечётное число равных треугольников

Представьте самый обычный квадрат. Как разрезать его на чётное число треугольников одинаковой площади?

Легко. Разрежьте квадрат по диагонали, получатся два треугольника одинаковой площади. Также несложно разрезать на 4, 6, 8 и любое чётное число одинаковых по площади треугольников.

Что утверждает теорема Монского

Вопрос: можно ли разрезать квадрат на нечётное число треугольников одинаковой площади, например на 3, 5 или 7?

Ответ вас удивит: нет, нельзя.

Доказательство теоремы Монского: не геометрия, а теория чисел

Но ещё более удивителен не сам ответ, а доказательство.

Единственное известное доказательство — не через геометрию, как могло бы показаться поначалу, а через теорию чисел. Точнее через 2-адические числа.

2-адические числа и логика противоречия

2-адические числа — это способ измерить, насколько сильно число делится на 2. Вершинам разбиения приписывают три цвета по 2-адическому правилу, и оказывается, что всегда найдётся треугольник со всеми тремя цветами, у которого 2-адическая площадь «большая» (больше 1).

Но если разрезать квадрат на нечётное число n равных треугольников, площадь каждого равна 1/n, а у такой дроби при нечётном n 2-адическая площадь равна ровно 1. «Больше 1» и «ровно 1» одновременно быть не может — противоречие. Значит, нечётного разбиения не существует.

В общем, геометрическая на первый взгляд задача упирается в структуру точек плоскости через свойство делимости на 2.

Вот такая неожиданная математика.