Почему гармонический ряд 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n никогда не равен целому числу

Гармонический ряд (подробнее рассказывал тут) поражает своей красотой.

Гармонический ряд уходит в бесконечность

Каждое следующее слагаемое всё меньше и меньше. Но несмотря на обманчиво медленный рост (сумма первых ста слагаемых всего около 5,19), рано или поздно сумма превысит любое число (!!).

Сумма гармонического ряда — бесконечность.

Но! Это далеко не вся красота.

Гармонический ряд упорно избегает целых чисел

Оказывается, суммы 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n упорно избегают целых чисел!

Помимо случая n = 1, суммы никогда не равны в точности целому числу. Сколько слагаемых ни добавляй, результат всегда дробь.

Почему так?

Причина очень красивая: оказывается, секрет в двойках.

Доказательство: роль степеней двойки

Увидеть это несложно.

Шаг 1. Берём наибольшую степень двойки (то есть число вида 2^k), не превосходящую n.

Шаг 2. Приводим сумму к общему знаменателю. При этом все слагаемые, кроме 1/2^k, домножаются на чётные числа, а само это слагаемое — на нечётное, так как его знаменатель уже содержит все двойки, которые будут в общем знаменателе.

Шаг 3. В результате в знаменателе оказывается чётное число, а в числителе — нечётное (так как это сумма чётных слагаемых и одного нечётного).

Вот так одно слагаемое 1/2^k не даёт дроби сократиться до целого числа. Сумма всегда остаётся соотношением нечётного и чётного.

Обобщение Эрдёша для гармонического ряда

Великий Пал Эрдёш, кстати, обобщил этот результат.

Оказывается, не обязательно начинать складывать с единицы. Любые суммы 1/m + 1/(m+1) + … + 1/n никогда не равны целому числу.

Вот так гармонический ряд не просто медленно, но верно уходит в бесконечность. Он ещё и настойчиво убегает от целых чисел любым своим куском!

Ирония в том, что красотой древние греки восхищались одновременно и целыми числами, и гармоническим рядом, которы этих целых чисел всячески избегал.