Иррациональные числа: как математики десятилетиями пытались доказать очевидное

Что сложного в том, чтобы доказать, что число можно записать в виде простой дроби? На первый взгляд — ничего. Либо оно представляется как отношение двух целых чисел, либо нет. Но в реальности всё оказалось настолько сложно, что доказательство иррациональности одного из ключевых чисел математики вызвало бурю негодования, а сам математик, который его представил, стал объектом насмешек.

Великий математический скандал вокруг иррациональных чисел

Июнь 1978 года. Франция, Марсель. На математической конференции объявляется неожиданный доклад: малоизвестный математик Роджер Апери собирается доказать, что число ζ(3), получаемое из знаменитой дзета-функции Римана, иррационально.
Зал заполнился скептиками, готовыми к скандалу. Апери вышел к доске и начал записывать одно уравнение за другим, не утруждая себя объяснениями. Где-то в его расчётах появилось деление на ноль, а на вопросы, откуда взялись формулы, он ответил: «Они растут у меня в саду.»

Зал взорвался. Смех, насмешки, бумажные самолётики. Один из слушателей сказал: «Победа французского крестьянина.»
Но потом случилось неожиданное — один из присутствующих математиков поверил в доказательство. Уже через пару месяцев он и несколько других учёных восстановили детали и поняли: Апери был прав.

Почему иррациональность так трудно доказать?

Может показаться, что иррациональных чисел больше, чем рациональных — и это так. Выбери любое число на числовой оси случайным образом — почти наверняка оно иррационально.

Но вот доказать это для конкретного числа невероятно сложно. Например, π и e доказали иррациональность ещё в XVIII веке, но даже такие простые комбинации, как π + e, до сих пор остаются загадкой.

Апери нашёл новый способ доказательства иррациональности, который все ждали — но… он не сработал так, как все надеялись. Метод Апери оказался настолько странным, что его не удалось применить к другим значениям дзета-функции. Надежда на то, что через пару лет математики смогут массово доказывать иррациональность чисел, разбилась о реальность.

Прорыв спустя 45 лет: универсальный метод для иррациональных чисел

Совсем недавно группа математиков — Франк Калегари, Веселин Димитров и Юньцин Тан — смогли развить метод Апери в универсальный инструмент, который уже доказал иррациональность целого класса чисел.
Их подход позволяет работать не только с дзета-функцией, но и с так называемыми L-функциями, которые связаны с распределением простых чисел. Их работа может стать новой эрой в теории чисел — некоторые математики уже говорят о «золотой лихорадке» новых доказательств.

Почему иррациональные числа важны для науки

Иррациональность — это не просто любопытный математический факт. Она лежит в основе чисел, которые определяют геометрию, теорию вероятностей, физику и квантовую механику.
Чем лучше мы понимаем свойства чисел, тем ближе к разгадке самых глубоких закономерностей во Вселенной.

Как думаете, удастся ли в ближайшие годы доказать иррациональность таких чисел, как π + e?