Вероятность того, что два случайных числа взаимно простые, равна 6/π²

Сегодня немного отвлечемся от теории групп — удивительный факт про вероятность.

Какова вероятность, что два случайно выбранных натуральных числа окажутся взаимно простыми, то есть их общий делитель — только 1?

На первый взгляд, кажется сложным, но математика и тут удивляет. Ответ: 6/π², или примерно 0.608.

Почему взаимно простые числа связаны с числом π

Смотрите сами:

1. Вероятность, что одно число делится на 2, равна 1/2. Вероятность, что оба числа делятся на 2, равна 1/4.
2. Вероятность, что оба числа делятся на 3, — 1/9.
3. Для любого простого числа p, вероятность, что оба числа делятся на p, равна 1/p².

Теперь найдём вероятность, что ни одно простое число не делит оба числа одновременно. Для простого числа p это 1−1/p². Чтобы учесть все простые числа, мы перемножаем эти вероятности:

Итоговая вероятность = ∏(1−1/p²), произведение по всем простым p.

Этот бесконечный ряд сходится к знаменитой формуле 6/π².

Что означает вероятность взаимной простоты на практике

Это значит, что если взять два случайных числа, в 60.8% случаев их наибольший общий делитель будет равен 1. Эта вероятность лежит в основе многих теоретических и практических приложений — от теории чисел до криптографии.