Недавние прорывы в теории чисел: 5 главных открытий после теоремы Ферма

Наверняка вы слышали про доказательство Великой теоремы Ферма в 1995 году, самом популярном утверждении в теории чисел. Но прошло уже почти 30 лет. Что произошло за это время?

Ниже 5 наиболее значимых результатов:

Прорывы в теории чисел: новые открытия о простых числах

🔎 1. Теорема Грина-Тао (2004)
Бен Грин и Теренс Тао доказали, что среди простых чисел существуют любые длинные арифметические прогрессии.
Это значит, что можно найти последовательности простых чисел, которые идут с равными промежутками. Например, 3, 7, 11 — это последовательность длины 3 с шагом 4. До этого считалось невозможным обнаружить такие закономерности в простых числах. Это открытие доказывает, что даже среди «хаотичных» простых чисел можно находить упорядоченность.

🔎 2. Прорыв в изучении простых чисел (2013)
Чжан Итан доказал, что существует бесконечно много пар простых чисел, разница между которыми не превышает 70 миллионов.
Это стало неожиданным открытием, которое вдохновило многих математиков продолжать исследование расстояний между простыми числами. В результате последующих работ это число удалось значительно уменьшить до 246, что подводит нас всё ближе к доказательству знаменитой гипотезы о близнецах — существовании бесконечного количества пар простых чисел, которые отличаются на 2.

Теория чисел и эллиптические кривые: от теоремы Сато-Тэйта до гипотезы abc

🔎 3. Теорема Сато-Тэйта (2010)
Эта теорема описывает распределение чисел на эллиптических кривых. Проще говоря, она утверждает, что значения углов, связанных с точками на эллиптических кривых над простыми числами, распределяются по определённому закону (закону Сато-Тэйта).
Эллиптические кривые, кстати, играют ключевую роль в криптографии и других приложениях. До этого было много догадок о поведении таких чисел, но доказательство позволило лучше понимать их структуру. Важно, потому что оно укрепило связь между эллиптическими кривыми и модульными формами, что имеет серьёзные последствия для анализа числовых последовательностей и их применения.

🔎 4. Прогресс по гипотезе abc (2012, заявлен)
Японский математик Синъити Мотидзуки представил доказательство гипотезы abc, одной из важнейших нерешённых проблем в теории чисел. Гипотеза утверждает, что если 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 для трёх взаимно простых чисел, то число 𝑐 не может быть слишком большим по отношению к числу простых множителей 𝑎 и 𝑏.
Это открытие вызвало бурные дискуссии, так как предложенный метод — теория Интеруниверсального Тейхмюллерового пространства — настолько сложен, что доказательство не подтвердили даже сегодня, спустя 12 лет. А если доказательство все-таки подтвердится, это изменит многие области теории чисел.

Средний ранг эллиптических кривых — ещё один прорыв в теории чисел

🔎 5. Средний ранг эллиптических кривых (2014)
Манжул Бхаргава сделал важные открытия, касающиеся эллиптических кривых. Он доказал, что средний ранг эллиптических кривых над рациональными числами — меньше 1. Ранг эллиптической кривой — это количество целых решений уравнения, задающего кривую.
Это связано с одной из нерешенных задач тысячелетия — гипотезой Бирча и Свиннертон-Дайера, которая связывает поведение эллиптических кривых с теорией L-функций и помогает лучше понимать, как «работают» эллиптические кривые.

Какой результат вам кажется наиболее интересным?

❤️ — 1. Простые числа и арифметические прогрессии
🗿 — 2. Шаг в сторону гипотезы о близнецах
🔥 — 3. Теорема Сато-Тэйта и эллиптические кривые
🤯 — 4. abc-гипотеза
😍 — 5. Про средний ранг эллиптических кривых