Число π и случайные числа: почему вероятность взаимно простых равна 6/π²

Вероятность и число π: неожиданная связь

Представьте: вы берёте два больших случайных числа 𝑎 и 𝑏. Записываете дробь 𝑎/𝑏. Теперь вопрос: какова вероятность, что эта дробь несократима (то есть 𝑎 и 𝑏 взаимно просты)?

Ответ, который ломает шаблоны: 6/π².

Да-да, число π, известное нам из геометрии и кругов, неожиданно появляется в задаче о дробях и целых числах.

Как проверить: число пи вероятность взаимно простых на практике

Если хотите убедиться сами, попробуйте эксперимент: возьмите два случайных числа, скажем, от 1 до 100 миллионов, и проверьте, являются ли они взаимно простыми. Компьютерные симуляции показывают, что вероятность действительно приближается к 6/π².

Почему вероятность равна 6/π²: простые числа и дзета-функция Римана

Когда мы говорим о вероятности того, что два случайных числа взаимно просты, оказывается, что ключ к ответу — в том, как эти числа «обходят» простые делители. Для каждого простого числа можно рассчитать вероятность, что оба числа не делятся на него, например, для 2 — это три из четырёх возможных случаев, для 3 — восемь из девяти, и так далее.

Перемножая эти вероятности для всех простых чисел, мы выходим на связь с дзета-функцией Римана. Её значение в определённой точке, 2, и даёт наш неожиданный результат: вероятность того, что два числа взаимно просты, равна 6/π².

Кажется невероятным, но число π может удивлять и появляться даже там, где его меньше всего ждёшь.