Объём бусины зависит только от длины отверстия в шаре — удивительный факт

Удивительный факт — важна только длина отверстия!

Возьмите шар и просверлите в нем цилиндрическое отверстие. То, что останется, похоже на бусину или объемное кольцо, с большой дыркой внутри.

Так вот оказывается, объем получившейся бусины зависит только от длины отверстия, то есть высоты бусины, если ее положить отверстием вниз.

Отверстие в шаре одинаковой высоты даёт одинаковый объём

Неважно какой изначальный размер шара — теннисный мяч или планета Земля. Если вы просверлите отверстие в теннисном мяче или Земле так, что оставшееся кольцо будет иметь высоту 1 см, объем этих колец будет одинаковым!

Почему объём зависит только от высоты отверстия в шаре

Интуитивно, чтобы получить кольца одинаковый высоты для большого шага нужно высверливать много, а для маленького мало.

Чуть проще увидеть это, если заметить связь радиуса дырки, высоты дырки и радиуса изначального шара — работает привычная теорема Пифагора:

R² − a² = h²/4

А дальше, всё просто, достаточно нарезать шар на очень маленькие кольца и проинтегрировать по высоте.

Ответ получается: V = πh³/6.