Как определить период бесконечной дроби: порядок десятки и теорема Эйлера

Вчера мы поняли, что дроби 1/n, у которых знаменатель имеет простой множитель, отличный от 2 и 5, — бесконечные.

Но посмотрите, насколько красивая у них структура.

У дроби всегда возникает период. Бесконечная непериодическая дробь у десятичного числа невозможна.

Так как при делении на n остатков конечное число, они просто обязаны начать повторяться рано или поздно.

Как же считать период?

Способ 1: порядок десятки и период бесконечной дроби

Длина периода 1/n равна наименьшей степени 10, дающей остаток 1 при делении на n.

Например, для 1/7:

Значит, период для 1/7 равен 6.
Так и есть:
1/7 = 0,(142857)

Почему это работает? По сути это деление в столбик 1 на 7, и когда в остатке появляется 1 (тот, с которого начинали) — всё идёт по кругу сначала.

Есть функция Эйлера φ(n) — количество чисел от 1 до n, взаимно простых с n.

Так вот, из теоремы Эйлера следует, что длина периода — всегда делитель φ(n). Это резко сужает поиск.

Например, для 1/7, φ(7) = 6.

То есть достаточно проверить только делители 6: 1, 2, 3, 6.

10¹, 10², 10³ не дают 1 при делении на 7 (см. выше), значит, остаётся только 6 (можно даже не считать).

Вот такие несложные способы для периодов.

Но оказывается, периоды скрывают ещё одну, куда более сложную загадку.

Максимальный период равен n−1 — это когда порядок десятки по модулю простого p равен p−1.

Например, период:

Вопрос: для каких простых p дробь 1/p даёт максимальный период?

Ответ вас удивит, куда может завести школьная математика.

Продолжим с огоньками:
50 🔥 и расскажу про загадку максимальных циклов.

Vital Math

Философия чисел, история открытий, ИИ и математика, прикладные задачи — живые тексты о том, как математика устроена и зачем она нужна.