Вычисление даты Пасхи: алгоритм Гаусса и модульная арифметика

Христос Воскресе!

Поздравляю всех православных с этим светлым праздником.

Но вы знали, что Пасха — самый математический праздник! Дата Пасхи вычисляется по особому алгоритму под названием computus paschalis («пасхального вычисления»).

Каноническое правило вычисления Пасхи

Правило вычисления Пасхи было канонически закреплено на Первом Вселенском Соборе в Никее в 325 году:
Пасха — это первое воскресенье после первого полнолуния, наступшего не ранее весеннего равноденствия (21 марта).

Математически сложность в необходимости согласовать три цикла: солнечный год, лунный месяц и семидневная неделя. Причём никакие два из них не имеют общего периода.

История пасхального счисления: таблицы до Гаусса

Первые полторы тысячи лет ключевым инструментом были пасхальные таблицы. Например, даты Пасхи на 19 лет вперед, а дальше этот цикл повторяется. Дионисий Малый (тот самый, кто ввёл летоисчисление от Рождества Христова) использовал Великий пасхальный цикл в 532 года.

Помимо конечного горизонта, сложность такого подхода в том, что computus — это огромные многостраничные справочники. Чтобы найти дату Пасхи, нужно последовательно пройти несколько таких таблиц и легко допустить ошибку.

Алгоритм Гаусса и модульная арифметика

Лишь в 1800 году 23-летний Карл Гаусс существенно упростил расчет с помощью простого алгоритма модульной арифметики: он свел решение к нескольким операциям по модулям 4, 7, 19 и 30 и простым арифметическим действиям, которые дают дату без всяких таблиц (то что на картинке выше). По легенде, начал он с попытки вычислить собственный день рождения.

Вычисление даты Пасхи в православной и католической традиции

Алгоритм расчета един в православной и католической церки (в православной даже проще), но разница возникает из-за того, по какому календарю отсчитывается «21 марта».

Вот так в очередной раз проявляется мощь и красота математики, которая повсюду!