Диофантова четвёрка: как 2000 лет математики искали пятый элемент

Набор четырёх чисел {1,3,8,120} на первый взгляд ничем не примечательный. Но оказывается, он скрывает в себе задачу 2000-летней давности, объединяет Диофанта, Ферма, Эйлера, современных математиков, затрагивает теорию трансцендентных чисел, уравнения Пелля, числа Фибоначчи и элиптические кривые. Обо всём по порядку.

Диофантова четвёрка: как всё началось в III веке

Всё началось в III веке.

Диофант искал набор чисел {a1, a2, a3, a4}, для которого для любой пары выполняется:
ai*aj + 1 = квадрат (то есть произведение любых двух чисел плюс один — это полный квадрат какого-то числа)

Такой набор и получил название диофантовой четверки, или квадрупля. Сам Диофант нашёл ответ в виде набора дробей:
{1/16, 33/16, 17/4, 105/16}

12 столетий спустя первый целочисленный пример привел Ферма. Те самые числа {1,3,8,120}. Но тут же возник вопрос: а сколько вообще таких наборов из четырёх чисел?

Эйлер и бесконечность диофантовых четвёрок

Ответ дал великий Эйлер. Оказывается, таких четверок бесконечно много. Более того, Эйлер привел формулу, как искать такие числа.

Если у вас есть пара {a,b} и ab + 1 = r^2, то можно построить вот такой квадрупль:
{a, b, a+b+2r, 4r(a+r)(b+r)}

Но, решив вопрос с четверкой чисел, тут же возник новый вопрос: а есть ли диофантова пятерка? Ответ появился даже позже, чем доказательство Великой теоремы Ферма.

Поиск диофантовой пятёрки: от Бейкера до Дюеллы

В 1969 году Бейкер и Давенпорт нашли ответ для набора Ферма: пятого элемента не существует. {1,3,8} можно продолжить только одним способом — до 120, и всё. Для доказательства ипользовали результаты Бейкера из теории трансценднетных чисел, о которых рассказывал вот здесь. Но четверка Ферма, это всего лишь один набор из бесконечности.

В 2004 Дюелла продвинул ответ ещё дальше. Он доказал, что диофантовых шестёрок не существует, а пятёрок — есть лишь конечное число. Что уже большой плюс: теперь можно просто проверить все наборы на компьютере. Но этого математикам мало!

Окончательный ответ: целочисленной диофантовой пятёрки не существует

В 2016 году Хе, Тогбе и Зиглер поставили жирную точку: целочисленных диофантовых квинтуплей не существует вообще. Задача сводится к системе уравнений Пелля вида a*e+1=x^2, у которой просто нет решений: система несовместима. Пятый элемент добавить нельзя.

Открытые вопросы теории диофантовых четвёрок

Но, как часто бывает в теории чисел, открытых вопросов всё ещё очень много. Открытыми остаются
👉 гипотеза регулярности: правда ли, что квадрупль обязан удовлетворять условию (a+b-c-d)^2 = 4(ab+1)(cd+1)
👉 как продолжить исходную рациональную четверку Диофанта до пяти (рациональные числа оказали намного «гибче» целых)
👉 как ведут себя четверки для «особых» n (то есть когда прибавляют не +1, а +n, чтоб получился целый квадрат)
👉 существует ли семёрка рациональных чисел (оказалось, что рациональных шестерок бесконечно много)
👉 существует ли рациональная четверка, порождающая эллиптическую кривую с рангом больше 10 (оказывается, любой четверке можно сопоставить эллиптическую кривую)

Вот за что мы любим теорию чисел. Безобидный вопрос тут же приводит нас в новый мир. Мир чисел со своими структурами и удивительными связями. Мир, в котором мы будем разбираться ещё десятки, сотни, а скорей всего, и тысячи лет.