Брахистохрона и таутохрона: как циклоида решает две задачи об оптимальном спуске

Задача о таутохроне: кривая с одинаковым временем спуска

В XVII веке математики искали такую кривую, по которой шарики, запущенные из разных точек, будут доезжать вниз за одно и то же время. Суть в том, чтобы дополнительная длина пути компенсировалась большей скоростью на более крутом участке. В итоге система как будто сама себя «выравнивает» по времени.

Задача получила название задача о таутохроне (от греческих слов tauto — «тот же» и chronos — «время», то есть «одновременность»).

Её решил Христиан Гюйгенс в 1673 году. Искомая кривая — циклоида, траектория точки на окружности, которая катится по прямой. На основе этого он придумал циклоидальный маятник: если груз маятника движется не по дуге окружности, а по дуге циклоиды, период колебаний становится почти независимым от амплитуды, что важно для точных часов.

Задача о брахистохроне: циклоида как кривая наискорейшего спуска

В XVII веке была ещё одна известная задача — задача о брахистохроне (тоже от греческих «самый короткий» и «время»), или кривой наискорейшего спуска. Она спрашивает: какую форму должна иметь гладкая кривая между двумя точками на плоскости, чтобы шарик, скользящий по ней без трения под действием тяжести, добирался до нижней точки за минимальное время.

В 1696 году Иоганн Бернулли объявил эту задачу конкурсной. В числе решивших её были Бернулли, Лейбниц и Ньютон, а ответ снова оказался циклоидой. Задача о брахистохроне стала одним из истоков вариационного исчисления и оптимального управления (считается простейшей и наглядной задачей!).

Математическая красота: одна циклоида — два оптимальных решения

А математическая красота всего этого заключена в циклоиде. Одна и та же простая кривая одновременно решает две совершенно разные «оптимальные» задачи — даёт и наискорейший спуск, и одинаковое время спуска из любых точек.