Уильям Шенкс: как математик-любитель вычислял число π вручную 20 лет

Пока мы недалеко ушли от Праздника Весны и Труда, вспомним про труд в математике.

Вильям Шенкс, английский математик-любитель, потратил значительную часть жизни вычисляя число π. Причём вручную, без всяких калькуляторов!

Метод вычисления числа π: формула Мэчина и железная дисциплина

Шенксу помогала строгая дисциплина: каждой утро он вычислял новые знаки, а после обеда занимался проверкой.

Для вычислений он использовал формулу Джона Мэчина:

π/4 = 4·arctan(1/5) − arctan(1/239)

Двадцать лет к рекорду: хронология вычислений числа π

Он начал вычисления в 1850 году. Уже через 3 года опубликовал первый большой результат — 530 знаков после запятой. Позже в том же году довёл расчеты до 607 знаков.

И лишь через 20 лет, в 1873 году, он опубликовал своё основное достижение: 707 знаков числа π.

Ошибка в 528-м знаке и настоящая цена рекорда

Но!

Через 71 год в расчётах нашли ошибку, в 528м знаке после запятой (то есть ещё в работе 1853 года), из-за чего все последующие 180 знаков оказались неверными.

Но даже те 527 знаков, найденные вручную, навсегда остались рекордом ручных вычислений числа π.

Число π сегодня: от 527 знаков до 314 триллионов

С появлением компьютеров вычислить 527 знаков может даже ребёнок за несколько секунд. А само число π сейчас посчитано с точностью до 314 триллионов знаков после запятой.

Но работа Шенкса навсегда останется вершиной человеческих возможностей: он «хотя бы попытался» вычислить то, у чего нет конца.

Задачка про π²

А так как сегодня суббота, как обычно, небольшая задачка.

Зная, что сумма 1/1² + 1/2² + 1/3² + … равна π²/6. Чему равна вот такая сумма:
1/1² + 1/3² + 1/5² + 1/7² + 1/9²+…?

Ответ: π²/8