Почему дробь 1/89 содержит всю последовательность Фибоначчи

Вы знали, что в 1/89 живёт вся последовательность Фибоначчи?

1/89 это 0,01123595…

А последовательность Фибоначчи это 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…

Это те же числа! Дробь 1/89 содержит все числа Фибоначчи!

Как работает дробь 1/89 и последовательность Фибоначчи

Запишите числа Фибоначчи в столбик, каждое со сдвигом на разряд вправо:

0,0
0,01
0,001
0,0002
0,00003
0,000005
0,0000008
0,00000013
…

Сложите этот бесконечный столбик и получите ровно 1/89.

Или можно записать так:

1/89 = F₀/10¹ + F₁/10² + F₂/10³ + F₃/10⁴ + …

Откуда берётся 89 в дроби Фибоначчи

1/89 можно увидеть, если внимательно посмотреть на производящую функцию последовательности Фибоначчи в точке 1/10:

F(x) = x / (1 − x − x²)

Что это такое? Это «инструмент», который ставит последовательности число по простому правилу: каждый член последовательности умножается на х в степени порядкового номера члена последовательности (чисел Фибоначчи)

F(x) = 0 + 1·x + 1·x² + 2·x³ + 3·x⁴ + 5·x⁵ + 8·x⁶ + …

Если х = 1/10, то мы как раз увидим последоствальность Фибоначчи в десятичной записи.

1/89 = F(1/10)/10

Число 89 — само число Фибоначчи

89 — само число Фибоначчи. Получается число Фибоначчи, обратное к которому содержит в себе всю бесконечную последовательность Фибоначчи. Красота!