Упаковка шаров и кругов: от сот ос до гипотезы Кеплера

Прямо над головой осы строили вот такой дом из аккуратных шестиугольников.

Упаковка кругов на плоскости: решение Лагранжа

Если в вершинах этих шестиугольников разместить круги и добавить круг по центру, получится самая плотная упаковка кругов на плоскости. Лагранж доказал это ещё в 1773 (точнее он доказал, что это самая плотная среди решетчатных упаковок, среди всех доказал Ласло Фейеш Тот только в 1940м). Круги займут почти 90% плоскости.

Гипотеза Кеплера и упаковка шаров в трёх измерениях

Если же в вершинах этих шестиугольников разместить трехмерные шары, получится наиболее плотная трехмерная упаковка. Эту гипотезу сформулировал Кеплер ещё в 1611 году. Упаковка занимает 74% пространства (центры шаров следующего слоя лежат в отверстиях между шарами предыдущего слоя). Для доказательства понадобилось почти четыре сотни лет. Только в 2017 году после 20 лет доработки Томасом Хейлзом полноценное доказательство стало официально принятым.

Упаковка шаров в многомерных пространствах: открытые вопросы

На сегодня математики доказали как плотно упаковывать шары в одном, двух, трех, восьми и двадцати четырех измерениях. Для пространств остальных размерностей — вопрос ещё открыт. Но осы и пчелы что-то знали уже давно. Вопрос — у кого спросить про пятимерный случай?